정규화 선형 회귀

정규화(regularized) 선형 회귀 방법은 선형 회귀 계수(weight)에 대한 제약 조건을 추가함으로써 계수의 분산을 감소시키는 방법이다. Regularized Method, Penalized Method, Contrained Least Squares 이라고도 불리운다.

일반적으로 세가지 정규화 선형 회귀 모형이 사용된다.

  • Ridge 회귀 모형
  • LASSO 회귀 모형
  • Elastic Net 회귀 모형

Ridge 회귀 모형

Ridge 회귀 모형에서는 가중치들의 제곱합(squared sum of weights)을 최소화하는 것을 추가적인 제약 조건으로 한다.

$$ \begin{eqnarray} \text{cost} &=& \sum e_i^2 + \lambda \sum w_i^2 \end{eqnarray} $$

$\lambda$는 기존의 잔차 제곱합과 추가적 제약 조건의 비중을 조절하기 위한 하이퍼 모수(hyper parameter)이다. $\lambda$가 크면 정규화 정도가 커지고 가중치의 값들이 작아진다. $\lambda$가 작아지면 정규화 정도가 작아지며 $\lambda$ 가 0이 되면 일반적인 선형 회귀 모형이 된다.

LASSO 회귀 모형

LASSO(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator) 회귀 모형은 가중치의 절대값의 합을 최소화하는 것을 추가적인 제약 조건으로 한다.

$$ \begin{eqnarray} \text{cost} &=& \sum e_i^2 + \lambda \sum | w_i | \end{eqnarray} $$

Elastic Net 회귀 모형

Elastic Net 회귀 모형은 가중치의 절대값의 합과 제곱합을 동시에 제약 조건으로 가지는 모형이다.

$$ \begin{eqnarray} \text{cost} &=& \sum e_i^2 + \lambda_1 \sum | w_i | + \lambda_2 \sum w_i^2 \end{eqnarray} $$

$\lambda_1$, $\lambda_2$ 두 개의 하이퍼 모수를 가진다.

statsmodels의 정규화 회귀 모형

statsmodels 패키지는 OLS 선형 회귀 모형 클래스의 fit_regularized 메서드를 사용하여 Elastic Net 모형 계수를 구할 수 있다.

하이퍼 모수는 다음과 같이 모수 $\text{alpha} $ 와 $\text{L1_wt}$ 로 정의된다.

$$ 0.5 \times \text{RSS}/N + \text{alpha} \times \big( 0.5 \times (1-\text{L1_wt})\sum w_i^2 + \text{L1_wt} \sum |w_i| \big) $$

In [25]:
np.random.seed(0)
n_samples = 30
X = np.sort(np.random.rand(n_samples))
y = np.cos(1.5 * np.pi * X) + np.random.randn(n_samples) * 0.1

dfX = pd.DataFrame(X, columns=["x"])
dfX = sm.add_constant(dfX)
dfy = pd.DataFrame(y, columns=["y"])
df = pd.concat([dfX, dfy], axis=1)

model = sm.OLS.from_formula("y ~ x + I(x**2) + I(x**3) + I(x**4) + I(x**5)", data=df)
result1 = model.fit()
result1.params


Out[25]:
Intercept     1.126872
x            -2.178934
I(x ** 2)     0.831280
I(x ** 3)   -26.179823
I(x ** 4)    48.667360
I(x ** 5)   -22.317003
dtype: float64

In [41]:
def plot_statsmodels(result):
    plt.scatter(X, y)
    xx = np.linspace(0, 1, 1000)
    dfxx = pd.DataFrame(xx, columns=["x"])
    dfxx = sm.add_constant(dfxx)
    plt.plot(xx, result.predict(dfxx).values)
    plt.show()
    
plot_statsmodels(result1)



In [51]:
result2 = model.fit_regularized(alpha=0.01, L1_wt=0)
print(result2.params)
plot_statsmodels(result2)


Intercept    0.735825
x           -2.297745
I(x ** 2)   -0.869221
I(x ** 3)    0.240199
I(x ** 4)    0.860333
I(x ** 5)    1.148527
dtype: float64

In [52]:
result2 = model.fit_regularized(alpha=0.01, L1_wt=0.5)
print(result2.params)
plot_statsmodels(result2)


Intercept    0.791332
x           -2.803618
I(x ** 2)    0.000000
I(x ** 3)    0.000000
I(x ** 4)    0.642781
I(x ** 5)    1.183472
dtype: float64

In [53]:
result2 = model.fit_regularized(alpha=0.01, L1_wt=1)
print(result2.params)
plot_statsmodels(result2)


Intercept    0.913274
x           -3.141250
I(x ** 2)    0.000000
I(x ** 3)    0.000000
I(x ** 4)    0.775632
I(x ** 5)    1.349318
dtype: float64

Scikit-Learn의 정규화 회귀 모형

Scikit-Learn 패키지에서는 정규화 회귀 모형을 위한 Ridge, Lasso, ElasticNet 이라는 별도의 클래스를 제공한다. 각 모형에 대한 최적화 목적 함수는 다음과 같다.

$$ \text{RSS} + \text{alpha} \sum w_i^2 $$ $$ 0.5 \times \text{RSS}/N + \text{alpha} \sum |w_i| $$ $$ 0.5 \times \text{RSS}/N + 0.5 \times \text{alpha} \times \big(0.5 \times (1-\text{l1_ratio})\sum w_i^2 + \text{l1_ratio} \sum |w_i| \big) $$

In [83]:
def plot_sklearn(model):
    plt.scatter(X, y)
    xx = np.linspace(0, 1, 1000)
    plt.plot(xx, model.predict(xx[:, np.newaxis]))
    plt.show()

In [94]:
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.pipeline import make_pipeline
from sklearn.linear_model import LinearRegression, Ridge, Lasso, ElasticNet

poly = PolynomialFeatures(3)

In [89]:
model = make_pipeline(poly, Ridge(alpha=0.01)).fit(X[:, np.newaxis], y)
plot_sklearn(model)



In [90]:
model = make_pipeline(poly, Lasso(alpha=0.01)).fit(X[:, np.newaxis], y)
plot_sklearn(model)



In [92]:
model = make_pipeline(poly, ElasticNet(alpha=0.01, l1_ratio=0.5)).fit(X[:, np.newaxis], y)
plot_sklearn(model)


정규화 모형의 장점

정규화 모형은 오차-분산 트레이드오프(bias-variance trade-off) 원리에 따라 분산을 감소시키는 효과를 가진다.


In [95]:
X_train = np.c_[.5, 1].T
y_train = [.5, 1]
X_test = np.c_[-1, 3].T
np.random.seed(0)

models = {"LinearRegression": LinearRegression(), 
          "Ridge": Ridge(alpha=0.1)}

for i, (name, model) in enumerate(models.iteritems()):
    ax = plt.subplot(1, 2, i+1)
    for _ in range(10):
        this_X = .1 * np.random.normal(size=(2, 1)) + X_train
        model.fit(this_X, y_train)
        ax.plot(X_test, model.predict(X_test), color='.5')
        ax.scatter(this_X, y_train, s=100, c='.5', marker='o', zorder=10)
        model.fit(X_train, y_train)
        ax.plot(X_test, model.predict(X_test), linewidth=3, color='blue', alpha=0.5)
        ax.scatter(X_train, y_train, s=100, c='r', marker='D', zorder=10)
        plt.title(name)
        ax.set_xlim(-0.5, 2)
        ax.set_ylim(0, 1.6)


Ridge 모형과 Lasso 모형의 차이

Ridge 모형은 가중치 계수를 한꺼번에 축소시키는데 반해 Lasso 모형은 일부 가중치 계수가 먼저 0으로 수렴하는 특성이 있다.


In [96]:
from sklearn.datasets import load_diabetes
diabetes = load_diabetes()
X = diabetes.data
y = diabetes.target

In [111]:
ridge0 = Ridge(alpha=0).fit(X, y)
p0 = pd.Series(np.hstack([ridge0.intercept_, ridge0.coef_]))
ridge1 = Ridge(alpha=1).fit(X, y)
p1 = pd.Series(np.hstack([ridge1.intercept_, ridge1.coef_]))
ridge2 = Ridge(alpha=2).fit(X, y)
p2 = pd.Series(np.hstack([ridge2.intercept_, ridge2.coef_]))
pd.DataFrame([p0, p1, p2]).T


Out[111]:
0 1 2
0 152.133484 152.133484 152.133484
1 -10.012198 29.465746 33.684368
2 -239.819089 -83.154885 -41.040187
3 519.839787 306.351627 223.029964
4 324.390428 201.629434 152.203371
5 -792.184162 5.909369 20.941211
6 476.745838 -29.515927 -2.749722
7 101.044570 -152.040465 -121.063689
8 177.064176 117.311715 103.717329
9 751.279321 262.944995 195.099906
10 67.625386 111.878718 99.467716

In [102]:
lasso0 = Lasso(alpha=0.0001).fit(X, y)
p0 = pd.Series(np.hstack([lasso0.intercept_, lasso0.coef_]))
lasso1 = Lasso(alpha=0.1).fit(X, y)
p1 = pd.Series(np.hstack([lasso1.intercept_, lasso1.coef_]))
lasso2 = Lasso(alpha=10).fit(X, y)
p2 = pd.Series(np.hstack([lasso2.intercept_, lasso2.coef_]))
pd.DataFrame([p0, p1, p2]).T


Out[102]:
0 1 2
0 152.133484 152.133484 152.133484
1 -9.910816 -0.000000 0.000000
2 -239.727144 -155.362882 0.000000
3 519.881966 517.182017 0.000000
4 324.294322 275.082351 0.000000
5 -784.988701 -52.540269 0.000000
6 471.210031 -0.000000 0.000000
7 97.612539 -210.159753 -0.000000
8 175.802361 0.000000 0.000000
9 748.684614 483.914409 0.000000
10 67.610404 33.672821 0.000000

path 메서드

LassoElasticNet 클래스는 하이퍼 모수 alpha 값의 변화에 따른 계수의 변화를 자동으로 계산하는 path 메서드를 제공한다. lasso_path(), enet_path() 명령어도 path 메서드와 동일한 기능을 수행한다.


In [145]:
lasso = Lasso()
alphas, coefs, _ = lasso.path(X, y, alphas=np.logspace(-6, 1, 8))
df = pd.DataFrame(coefs, columns=alphas)
df


Out[145]:
10.0 1.0 0.1 0.01 0.001 0.0001 1e-05 1e-06
0 0.0 0.359018 10.286331 33.147694 8.705495 -5.452332 -9.080737 -9.902637
1 0.0 0.000000 0.285976 -35.245064 -178.075235 -230.060677 -238.307326 -239.649466
2 0.0 3.259767 37.464643 211.024640 450.882945 517.356795 520.767952 519.973879
3 0.0 2.204356 27.544898 144.560242 281.073242 317.436537 323.234112 324.258708
4 0.0 0.528646 11.108848 21.931303 -44.061899 -240.402810 -635.231952 -772.936350
5 0.0 0.250935 8.355882 0.000000 -77.939017 40.281395 352.230141 461.473758
6 -0.0 -1.861363 -24.120806 -115.619846 -188.950843 -136.775239 31.891364 92.542411
7 0.0 2.114454 25.505488 100.658528 119.797535 117.921788 158.412929 174.749027
8 0.0 3.105841 35.465757 185.326164 393.706827 533.930194 691.527537 743.979234
9 0.0 1.769851 22.894981 96.257133 98.943979 73.934816 68.648179 67.740903

In [146]:
df.T.plot(logx=True)
plt.show()